Teorema de la firma de Hirzebruch

En topología diferencial, un área de las matemáticas, el teorema de la firma de Hirzebruch^[1]​ (a veces llamado teorema del índice de Hirzebruch) es el resultado de Friedrich Hirzebruch de 1954 que expresa la firma de una variedad orientada cerrada y lisa mediante una combinación lineal de número de Pontryagin llamada el L-género.

Se utilizó en la demostración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch.

Enunciado del teorema

El género L es el género de la sucesión multiplicativa de polinomios asociada a la serie de potencias característica

${\displaystyle {x \over \tanh(x)}=\sum _{k\geq 0}{{2^{2k}B_{2k} \over (2k)!}x^{2k}}=1 {x^{2} \over 3}-{x^{4} \over 45} \cdots .}$

Los dos primeros de los polinomios L resultantes son:

• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$

Tomando para el ${\displaystyle p_{i}}$ las clases de Pontryagin ${\displaystyle p_{i}(M)}$ del haz de tangentes de una 4n dimensional suave orientada cerrada se obtienen las clases L de M.

Hirzebruch demostró que la n-ésima clase L de M evaluada en la clase fundamental de M, ${\displaystyle [M]}$, es igual a ${\displaystyle \sigma (M)}$, la firma de M, es decir, la firma de la forma de intersección en el grupo de cohomología 2n de M:

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle .}$

Esquema de la prueba del teorema de la firma

René Thom había demostrado anteriormente que la signatura estaba dada por alguna combinación lineal de número de Pontryagin, e Hirzebruch encontró la fórmula exacta de esta combinación lineal introduciendo la noción de género de una secuencia multiplicativa.

Dado que el anillo racional cobordismo orientado ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} }$ es igual a

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} [\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} ),\mathbb {P} ^{4}(\mathbb {C} ),\ldots ],}$

el álgebra polinómica generada por las clases de cobordismo orientado ${\displaystyle [\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )]}$ de los espacios proyectivos complejos pares, basta con comprobar que

${\displaystyle \sigma (\mathbb {P} ^{2i})=1=\langle L_{i}(p_{1}(\mathbb {P} ^{2i}),\ldots ,p_{n}(\mathbb {P} ^{2i})),[\mathbb {P} ^{2i}]\rangle }$

para todo i.

Generalizaciones

El teorema de la firma es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de firma.

El índice analítico del operador de firma es igual a la firma de la variedad, y su índice topológico es el género L de la variedad. Por el teorema del índice de Atiyah-Singer estos son iguales.

Referencias

Bibliografía

• F. Hirzebruch, The Signature Theorem. Reminiscences and recreation. Prospects in Mathematics, Annals of Mathematical Studies, Band 70, 1971, S. 3–31.
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies (76). Princeton University Press; University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.